结构化学习题集

习题1:

1.1 某同步加速器,可把质子加速至具有100×10⁹eV的动能,试问此时质子速度多大？

1.2 计算波长为600nm(红光),550nm(黄光),400nm(蓝光)和200nm(紫光)光子的能量。

1.3 在黑体辐射中，对一个电热容器加热到不同温度，从一个针孔辐射出不同波长的极大值，试从其推导Planck常数的数值：
      T/℃      1000     1500     2000     2500     3000     3500
      l_max/nm   2181     1600     1240     1035      878      763

1.4 计算下列粒子的德布洛意波长
    (1)    动能为100eV的电子;
    (2)    动能为10eV的中子;
    (3)    速度为1000m/s的氢原子.

1.5 质量0.004kg子弹以500ms^-1速度运动，原子中的电子以1000ms^-1速度运动,试估计它们位置的不确定度, 证明子弹有确定的运动轨道, 可用经典力学处理, 而电子运动需量子力学处理。

1.6 用测不准原理说明普通光学光栅(间隙约10^-6m)观察不到10000V电压加速的电子衍射。

1.7 小球的质量为2mg,重心位置可准确到2μm,在确定小球运动速度时,讨论测不准关系有否实际意义?

1.8 判断下列算符是否是线性\厄米算符：
    （1）     （2）       （3）x₁+x₂      （4）

1.9 下列函数是否是 的本征函数？若是，求其本征值：
    （1）exp（ikx）  （2）coskx    （3）k     （4）kx

1.10 氢原子1s态本征函数为 （a₀为玻尔半径），试求1s态归一化波函数。

1.11 已知一维谐振子的本征函数为

其中a_n和α都是常数，证明n=0与n=1时两个本征函数正交。

1.12 若 是算符 的本征函数 (B为常数), 试求α值，并求其本征值。

1.13 计算 Poisson 方括 , 

1.14 证明Poisson 方括的下列性质:
    (1)
    (2)

1.15 角动量算符定义为:
        ,   ,  
       
   证明: (1)          (2)

1.16 在什么条件下 ?

1.17 设体系处于状态 中，角动量 和M_Z有无定值。若有其值是多少？若无，求其平均值。

1.18 已知一维势箱粒子的归一化波函数为
     n=1, 2, 3 ……  (其中l为势箱长度)
计算 (1)粒子的能量   (2)坐标的平均值      (3)动量的平均值

1.19 试比较一维势箱粒子(波函数同上题)基态(n=1)和第一激发态(n=2)在0.4l~0.6l区间内出现的几率。

1.20 当粒子处在三维立方势箱中(a=b=c),试求能量最低的前3个能级简并度。

1.21 写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。

1.22 若用一维势箱自由粒子模拟共轭多烯烃中π电子, (a)丁二烯 (b)维生素A (c)胡萝卜素分别为无色、桔黄色、红色，试解释这些化合物的颜色。

1.23 若用二维箱中粒子模型, 将蒽(C₁₄H₁₀)的π电子限制在长700pm, 宽400pm的长方箱中,计算基态跃迁到第一激发态的波长.

习题2：

2.1 已知氢原子的归一化波函数为
(1) 试求其基态能量和第一激发态能量。
(2)计算坐标与动量的平均值。

2.2 试求氢原子由基态跃迁到第一激发态（n＝2）时光波的波长。

2.3 试证明氢原子1s轨道的径向分布函数 极大值位于 。

2.4 计算氢原子 在 和 处的比值。

2.5 已知s和p_z轨道角度分布的球谐函数分别为： ， ，试证明s和p_z轨道相互正交。

2.6 试画出类氢离子 和3d_xy轨道轮廓，并指出其节面数及形状。

2.7 原子的5个d轨道能量本来是简并的，但在外磁场的作用下，产生Zeeman效应（能量分裂），试作图描述这种现象。

2.8 试证明球谐函数Y₁₀、Y₂₁、Y₃₂是方程 的本征函数。

2.9 已知氢原子2p_z轨道波函数为
    ① 计算2p_z轨道能量和轨道角动量；
    ② 计算电子离核的平均距离；
    ③ 径向分布函数的极值位置。

2.10已知氢原子2s 轨道波函数为
                              
试求其归一化波函数。

2.11 类氢离子的1s轨道为： ，试求径向函数极大值离核距离，试问He^＋与F⁶⁺的极大值位置。

2.12 证明类氢离子的电子离核的平均距离为

2.13 写出Li^2＋离子的Schrödinger方程，说明各项的意义，并写出Li^2＋离子2s态的波函数
    ① 计算径向分布函数最大值离核距离；
    ② 计算1s电子离核的平均距离；
    ③ 比较2s与2p态能量高低。

2.14 画出4f轨道的轮廓图, 并指出节面的个数与形状.

2.15 写出Be原子的Schrödinger方程，计算其激发态2s¹2p¹的轨道角动量与磁矩。

2.16 根据Slater规则, 说明第37个电子应填充在5s轨道,而不是4d或4f轨道.

2.17 已知N原子的电子组态为1s²2s²2p³
    ① 叙述其电子云分布特点；
    ② 写出N的基态光谱项与光谱支项；
    ③ 写出激发态2p²3s¹的全部光谱项。

2.18 已知C原子与O原子电子组态分别为1s²2s²2p²与1s²2s²2p⁴，试用推导证明两种电子组态具有相同的光谱项，但具有不同的光谱支项，简要说明原因。

2.19 写出下列原子的基态光谱项与光谱支项：Al、S、K、Ti、Mn。

2.20 写出下列原子激发态的光谱项：
C[1s²2s²2p¹3p¹]        Mg[1s²2s²2p⁶3s¹3p¹]            Ti[1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d³4s¹]

2.21 基态Ni原子可能的电子组态为[Ar]3d⁸4s²或[Ar]3d⁹4s¹。由光谱实验测定能量最低的光谱项为³F₄，试判断其属于哪种组态。

2.22 根据Slater规则，求Ca原子的第一、二电离能。

2.23 计算Ti原子第一、二电离能。

习题3

3.1 寻找下列生活用品中所含的对称元素：剪刀、眼镜、铅笔（削过与未削）、书本、方桌。

3.2 CO和CO₂都是直线型分子，试写出这两个分子各自的对称元素。

3.3 分别写出顺式和反式丁二稀分子的对称元素。

3.4 指出下列几何构型所含的对称元素，并确定其所属对称点群：
    （1）菱形  (2) 蝶形  (3)三棱柱  (4) 四角锥  (5) 圆柱体  (6) 五棱台

3.5 H₂O属C_2v点群，有4个对称元素：E、C₂、 、 ，试写出C_2v点群的乘法表。

3.6 BF₃为平面三角形分子，属D_3h点群，请写出其12个对称元素，并将其分为6类。

3.7 二氯乙烯属C_2h点群，有4个对称元素：E、C₂、 、i，试造出C_2h点群的乘法表。

3.8 判断下列分子所属的点群：苯、对二氯苯、间二氯苯、氯苯、萘。

3.9 指出下列分子中的对称元素及其所属点群：
SO₂（V型）、P₄（四面体）、PCl₅（三角双锥）、S₆（船型）、S₈（冠状）、Cl₂。

3.10 指出下列有机分子所属的对称点群：
①     ②     ③     ④     ⑤

3.11 对下列各点群加入或减少某些元素可得到什么群？
① C₃+i        ② C₃+s_h        ③ T+i        ④ D_3d－i        ⑤ D_4h－σ_h

3.12 试用对称操作的表示矩阵证明：
    ⑴
    ⑵
    ⑶

3.13 判断下列说法是否正确,并说明理由：
    (1). 凡是八面体配合物一定属于O_h点群
    (2). 异核双原子分子一定没有对称中心
    (3). 凡是四面体构型分子一定属于T_d点群
    (4). 在分子点群中，对称性最低的是C₁,对称性最高的是O_h群

3.14 CoCl₆^3＋是八面体构型的分子，假设两个配位为F原子取代，形成CoCl₄F₂分子，可能属于什么对称点群？

3.15 环丁烷具有D_4h对称，当被X或Y取代后的环丁烷属什么对称点群？
    ①     ②     ③     ④
    ⑤    ⑥    ⑦     ⑧

3.16 找出下列分子对称性最高的点群及其可能的子群：
    ① C₆₀       ② 二茂铁（交错型）      ③ 甲烷

3.17 根据偶极矩数据，推测分子立体构型及其点群：
    ① C₃O₂  (μ＝0)                     ② H-O-O-H  (μ＝6.9×10^-30C·m)
    ③ H₂N-NH₂  (μ＝6.14×10^-30C·m)    ④ F₂O  (μ＝0.9×10^-30C·m)
    ⑤ N≡C－C≡N  (μ＝0)

3.18 已知连接苯环上C－Cl键矩为5.17×10^-30C·m，C－CH₃键矩为-1.34×10^-30C·m，试推算邻位、间位、对位C₆H₄ClCH₃的偶极矩（实验值分别为4.15×10^-30、5.49×10^-30、6.34×10^-30C·m）

3.19 请判断下列点群有无偶极矩、旋光性：

3.20 指出下列分子所属的点群，并判断其有无偶极矩、旋光性
    ①                          ②  IF₅
    ③  环己烷（船式和椅式）                 ④  SO₄^2－（四面体）
    ⑤  （平面）                  ⑥ 
    ⑦  XeOF₄（四方锥）                      ⑧ 

3.21 已知C₆H₅Cl 和C₆H₅NO₂偶极矩分别为1.55D 和3.95D, 试计算下列化合物的偶极矩:
   (1) 邻二氯苯  (2) 间二硝基苯  (3) 对硝基氯苯  (4) 间硝基氯苯  (5) 三硝基苯

3.22 已知立方烷C₈H₈为立方体构型，若2个H、3个H分别为Cl取代：
    ① 列出可形成的C₈H₆Cl₂、C₈H₅Cl₃可能的构型与所属的点群；
    ② 判别这些构型有无偶极矩、旋光性。

3.23 下列分子具有偶极矩，而不属于C_nv群的是
    ① H₂O₂     ② NH₃     ③ CH₂Cl₂    ④H₂C=CH₂

3.24 下列各组分子或离子中，有极性但无旋光性是
    ① N₃^－     ② I₃^－       ③ O₃      

3.25 由下列分子的偶极矩数据，推测分子的立体构型及所属的点群

3.26 将分子或离子按下类条件归类：
CH₃CH₃，NO₂⁺, (NH₂)₂CO,C₆₀,丁三烯，B(OH)₃,CH₄,乳酸
    ⑴既有极性又有旋光性
    ⑵既无极性有无旋光性
    ⑶无极性但由旋光性
    ⑷有极性但无旋光性

3.27 对D₆点群求出各表示的直积，并确定组成它们的不可约表示
    A₁×A₂，  A₁×B₁，  B₁×B₂，  E₁×E₂

3.28 分子属D_2h点群，试写π电子组成的可约表示，并将其化成不可约表示的直和。