1.利用已知的状态波函数，可求多种物理量的平均值

（1）粒子沿X轴的动量

（2）粒子的动量平方：动量平方与能量算符有共同本征函数，所以可直接求解本征方程。

左边＝右边

即动量平方的本征值为

2.用自由粒子模型讨论花菁染料电子的光谱跃迁

花菁染料（一价正离子）通式为共轭体系的键长近似为一维势箱的长度，电子可近似为自由粒子，n个烯基有2n个电子，加上N上一个孤对电子，次甲基双键 2个电子，体系共有2n+4个电子，占据 (n+2）个分子轨道，当吸收某种波长的光时，电子可从最高占据轨道No(n+2)跃迁到No(n+3)上，这样跃迁产生的频率为：

波长为

实验测烯基平均键长为248pm,和共长565pm，

由此可见计算值与实验什符合得相当好。