二.衍射方向

晶体衍射方向就是X射线射入周期性排列的晶体中的原子、分子，产生散射后次生X射线干涉、叠加相互加强的方向。

讨论衍射方向的方程有Laue(劳埃)方程和Bragg（布拉格）方程。前者从一维点阵出发，后者从平面点阵出发，两个方程是等效的。

1、Laue方程

(1)、直线点阵衍射的条件    设有原子组成的直线点阵，相邻两原子间的距离为α，如图7-16（α）所示，X射线入射方向S₀与直线点阵的交角为α₀。

若在与直线点阵交成α角的方向S₁发生衍射，则相邻波列的光程差△应为波长λ的整数倍，即△＝OQ－PR＝hλ

h为整数。但

OQ＝acosα，  PR＝acosα₀

故得

a(cosα-cosα₀)=hλ    (h=0，±1，±2，……)

这就是直线点阵产生衍射的条件。

因为由次生波原发出的X射线为球面电磁波，故与直线点阵交角为α的方向的轨迹是以直线点阵为轴的圆锥面。如上图7-16（b）所示，当α₀≠90^o时，h等于n和－n（n=1，2，3，…）的两套圆锥面并不对称；但当α₀＝90^o时，h=0的圆锥面蜕化为垂直于直线点阵的平面，这时h等于n和－n的两套圆锥面就是对称的了。若放置照像板与直线点阵平行，在一般情况下所得到的是一些曲线，在α₀＝90^o时所得到的是一组双曲线。

3、空间点阵衍射的条件   设空间点阵的三个素平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α₀，β₀和γ₀。衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ，根据上述的讨论可知，衍射角α，β和γ应满足下列条件：

a(cosα-cosα₀)=hλ

b(cosβ-cosβ₀)=kλ

c(cosγ-cos_γ0)=lλ

h，k，l，＝，±1，±2，……

    上式称为劳埃（laue）方程，hkl称为衍射指标。衍射指标和§3-1中所讲的晶面指标不同，晶面指标是互质的整数，衍射指标都是整数但不定是互质的。为了区别起见，在以下的讨论中我们用来表示晶面指标。

符合上式的衍射方向应是三个圆锥面的共交线。但三个圆锥面却不一定恰好有共交线，这是因为上式中的三个衍射角α，β，γ之间，还存在着一个函数关系

F(α，β，γ)＝0

例如当α，β，γ相互垂直时，则有

cos²α＋cos²β＋cos²γ＝1

α，β，γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。为了获得衍射图必须增加一个变数。增加一个变数可采用两种办法：一种办法是晶体不动（即α₀，β₀，γ₀固定），只让X射线；另一种办法是采用单色X射线（λ固定），但改变α₀，β₀，γ₀的一个或两个以达到产生衍射的目的。前一种办法称为劳埃摄谱法，后一种办法包括回转晶体法和粉末法等。

2、Bragg方程

空间点阵的衍射条件除了用劳埃方程来表示以外，还有一个很简便的关系式，这就是布拉格（Bragg）方程。根据劳埃方程，我们现在要证明这样的事实,即在h=nk*、k=nk*、l=nl*的衍射中，晶面指标为（h*k*l*）的平面点阵组中的每一点阵平面都是反射面，而且其中两相邻点阵平面上的原子所衍射X射线的光程等于波长的整数倍nλ。

设X射线在入射方向的单位向量为S₀，衍射方向的单位向量为S，空间点阵的三个单位平移向量为a、b和c，则劳埃方程可以写成下列的向量形式：

 由此可得

因为两个向量的数量积等于零表示两个向量互相垂直，所以从上式可知向量S—S₀与向量 AB,BC,CA

 垂直.这说明S-S₀与△ABC所组成的平面垂直，也就是与平面点阵组（hkl）中的每一个点阵平面垂直。

如图7－19所示：

向量OP可表示为：

OP=xa+yb+zc

应用Laue方程，光程差为△=（xa+yb+zc）*(S-S₀ ) 

                        = hλx +kλy +lλz

                        =  nλ

 我们还可以用两相邻平面点阵间的距离d_hkl和衍射角θ_n来表示两相邻平面点阵所衍射X射线的光程差。由于这个光程差与从平面点阵中所选择的点阵点无关，所以我们可以选择两个特殊的阵点P、Q来讨论问题。如图7－20所示:

这时  

结合上面两式，则得

这就是布拉格（Bragg）方程。